Che cosa si intende con incertezza delle misure?

Ogni volta che effettuiamo una misura, il risultato che otteniamo è inevitabilmente diverso dalla grandezza reale a causa degli errori sistematici o accidentali che vengono commessi. Infatti, anche se possiamo cercare di ridurre tali errori, non è possibile eliminarli del tutto.

Di conseguenza, ogni misura è e sarà sempre imprecisa, anche se di pochissimo.

Questa imprecisione è chiamata incertezza sperimentale e ci fornisce, se la uniamo al risultato della misura, l’intervallo di valori all’interno del quale si trova il valore vero:

Intervallo\ di\ valori=Valore\ misurato\pm Incertezza

Facciamo un esempio pratico, in modo da capire meglio questa formula.

Immaginiamo di prendere una bilancia e di pesare un libro. Sapendo che questa bilancia non indica quantità inferiori a 0,5 grammi e che quindi arrotonda sempre il risultato (trasformando ad esempio 3,3 g in 3,5 g), appoggiamo il libro su di essa.

A questo punto, facciamo finta che la bilancia indichi 94,5 g e che quindi questo sia il nostro valore misurato. Dato però che la bilancia arrotonda il risultato, non possiamo sapere se il peso del libro sia effettivamente questo o se sia ad esempio 94,3 o 94,6 g.

Che cosa facciamo, allora? Semplice, è sufficiente dire che il peso del libro è compreso tra 94 e 95 grammi, cioè, per usare la formula di prima, che l’intervallo di valori all’interno del quale si trova il vero peso del libro si colloca tra il valore misurato meno l’incertezza e il valore misurato più l’incertezza (x = 94,5 g ± 0,5 g).

Da che cosa dipende l’incertezza delle misure?

Se la misura che effettuiamo è una sola, l’incertezza dipende dalla sensibilità dello strumento. La sensibilità di uno strumento è il valore minimo della grandezza che lo strumento è in grado di indicare (nell’esempio di prima l’incertezza era infatti 0,5 g).

Se invece effettuiamo più misure, la formula di prima cambia:

Intervallo\ di\ valori=Media\ aritmetica\pm Incertezza

Come possiamo notare, il valore misurato viene sostituito dalla media aritmetica delle varie misure, chiamata anche valore medio. Per riprendere l’esempio di prima, se pesiamo il libro tre volte e ogni volta ci esce un risultato diverso, facciamo la media dei tre risultati (cioè li sommiamo e dividiamo la somma per tre) e usiamo questa media come valore misurato.

Per quanto riguarda l’incertezza, essa non equivale più alla sensibilità dello strumento, ma a quello che è l’errore maggiore tra la sensibilità dello strumento e l’errore assoluto della serie delle misure. In altre parole, dobbiamo controllare il valore della sensibilità dello strumento e il valore dell’errore assoluto, dopodiché usiamo come incertezza il più alto tra i due.

Che cos’è l’errore assoluto? L’errore assoluto è la differenza tra il valore misurato e il valore vero. Può essere calcolato in due modi:

• se le misure che effettuiamo sono poche, attraverso la semidispersione massima
• se le misure che effettuiamo sono molte, attraverso la deviazione standard

Il metodo più semplice (seppure meno accurato) è la semidispersione massima, che consiste nella differenza tra il valore misurato più alto e il valore misurato più basso. Ciò significa che, se pesiamo due volte il libro sulla bilancia e otteniamo come risultati 94,5 g e poi 95,0 g, l’errore assoluto sarà:

e_a=\frac{(95,0-94,5)\ g}{2}=0,25\ g

A questo punto, confrontiamo questo risultato con la sensibilità dello strumento e vediamo quale dei due è maggiore. Dato che la sensibilità è 0,5 g e l’errore assoluto 0,25 g, usiamo la sensibilità, per cui la formula di prima diventerebbe:

x=94,8\pm0,5

Dove:

• x rappresenta di nuovo l’intervallo di valori all’interno del quale si trova il peso del libro
• 94,8 rappresenta la media aritmetica delle due misure (cioè la somma tra 95 e 94,5 che è stata poi divisa per 2 e opportunamente arrotondata) 
• 0,5 l’incertezza, che corrisponde in questo caso, come abbiamo visto, alla sensibilità dello strumento

L’errore relativo

Quando misuriamo più volte una grandezza, possiamo mettere in rapporto l’errore assoluto con la media aritmetica delle misure, in modo da capire se i nostri calcoli siano stati precisi o no. Se ad esempio ottenessimo un errore assoluto di un centimetro rispetto a una lunghezza media di un chilometro, la misura sarebbe molto precisa. Viceversa, se l’errore assoluto fosse di un centimetro rispetto a una lunghezza di dieci centimetri, la misura sarebbe particolarmente imprecisa.

Il rapporto tra errore assoluto e media aritmetica viene chiamato errore relativo ed è espresso attraverso questa formula:

e_r=\frac{ea}{\bar{x}}

Riprendendo l’esempio di prima, la media aritmetica del peso del libro è 94,75 g e l’errore assoluto è 0,25 g, per cui l’errore relativo sarebbe:

e_r=\frac{0,25\ g}{94,75\ g}=0,002

Essendo un numero adimensionale, cioè privo di un’unità di misura, l’errore relativo viene solitamente espresso in percentuale. Per trasformarlo in percentuale, non dobbiamo fare altro che moltiplicarlo per 100 (ad esempio, 0,002 diventa 0,2%).

L’errore assoluto viene anche chiamato incertezza assoluta, mentre l’errore relativo incertezza relativa.